จำนวนจริงคืออะไร

สำหรับบท จำนวนจริง นั้น เป็นบทที่ชื่อดูเข้าใจง่ายหน่อย ถ้าถามว่าบทนี้ง่ายไหม อันนี้ต่างคนอาจจะตอบแตกต่างกัน แต่ถ้าถามว่าสำคัญไหม พี่พูดได้เลยว่าสำคัญมากน้า เพราะจำนวนเป็นสิ่งสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์เลย 

แต่เดี๋ยวในบทความนี้ น้องๆ จะได้เห็นว่าแล้วต้องเรียนอะไรเกี่ยวกับจำนวนจริงบ้าง แม้ว่าจะเคยผ่านการเรียนบทระบบจำนวนจริงตอน ม.2 มา แต่ในครั้งนี้จะมีหัวข้อใหม่ๆ ให้เรียนรู้มากมายทีเดียว อาจจะเนื้อหาเยอะสักหน่อยแต่ไม่ต้องกลัว เพราะทุกหัวข้ออาศัยความรู้ที่เคยเรียนแล้วทั้งนั้น ถึงน้องๆ จะลืมไปแล้วก็ไม่เป็นไรน้า ค่อยๆ เรียนรู้ไปด้วยกัน !

ก่อนอื่นมาเริ่มด้วยคำถามว่า จำนวนจริงคืออะไร ถ้าเอาแบบเข้าใจง่ายๆ ก็คือ จำนวนทุกจำนวนที่รู้จักและสามารถนำมาคำนวณ บวก ลบ คูณ หาร ยกกำลังได้ ไม่ว่าจะเป็นจำนวนเต็ม เศษส่วน ทศนิยม เลขยกกำลัง ตัวเลขที่อยู่ในรูปกรณฑ์ (ที่เรียกกันติดปากว่า รูท) หรือค่าคงที่อย่าง $�$  ก็เป็นจำนวนจริงเช่นกันนะ

คราวนี้ เพิ่มความซีเรียสกันขึ้นมาหน่อย พี่จะขอทบทวนจำนวนสองชนิด ได้แก่ จำนวนตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะ ซึ่งความหมายและตัวอย่างของจำนวนแต่ละชนิดเป็นดังนี้

จำนวนตรรกยะ

คือ จำนวนที่เขียนในรูป $\frac{�}{�}$ โดย $�$ และ

$�$  เป็นจำนวนเต็ม และ  $�\mathrm{\ne }0$

นั่นคือจำนวนที่เขียนได้ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือเขียนเป็นทศนิยมซ้ำได้

เช่น $7,1.5,-\frac{5}{4},2.4\dot{3},0$ เป็นต้น

จำนวนอตรรกยะ

คือ จำนวนที่เป็นทศนิยมแบบไม่ซ้ำ (และเป็นทศนิยมไม่รู้จบ ก็คือตัวเลขหลังทศนิยมไม่มีที่สิ้นสุดด้วย) ซึ่งจำนวนชนิดนี้ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้

เช่น  $\sqrt{2},1.121231234\dots ,�,\sqrt[3]{4},1-\sqrt{2}$  เป็นต้น 

จะเห็นว่า จำนวนตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะ จะมีความแตกต่างกันชัดเจน มีลักษณะที่ตรงข้ามกัน นั่นแปลว่า เซตของจำนวนตรรกยะ และเซตของจำนวนอตรรกยะ จะไม่มีสมาชิกที่ซ้ำกันเลย อย่างไรก็ตาม ถ้านำเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของจำนวนอตรรกยะมายูเนียน (รวมกัน) เราจะได้ผลลัพธ์จากการยูเนียนคือ เซตของจำนวนจริง นั่นเอง โดยจำนวนจริงสามารถแบ่งเป็นจำนวนชนิดต่างๆ ดังแผนผังต่อไปนี้

สัญลักษณ์ของเซตของจำนวนจริงชนิดต่างๆ ที่ควรรู้จัก ได้แก่

•    แทนเซตของจำนวนเต็มบวก (จำนวนนับ)
•    แทนเซตของจำนวนเต็ม
•   แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
•  แทนเซตของจำนวนอตรรกยะ
•   แทนเซตของจำนวนจริง
• 
  

• สมบัติข้างต้น โดยเฉพาะสมบัติการสลับที่ สมบัติการเปลี่ยนหมู่ และสมบัติการแจกแจง สามารถช่วยให้น้องๆ หาผลลัพธ์จากการบวกและการคูณของจำนวนจริงทำได้สะดวกขึ้นด้วย อย่างเช่นในตัวอย่างต่อไปนี้

  • จงหาผลบวกของ